imitation



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ビゼー(Georges Bizet)/ 「ラインの歌」から第1曲「暁」
ピアノ演奏は、ピーテル・ファンホーフ(Peter Vanhove)。










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# by hikihitomai | 2018-01-17 21:00 | 物見遊山
予約席



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MJQ(The Modern Jazz Quartet)/ Vendome










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# by hikihitomai | 2018-01-16 21:00 | 物見遊山
球の表面積と同じ面積をもつ正方形の作図方法



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新宿の目



「円積問題」は、「不可能」として証明されている。
定規とコンパスだけで、
円と同じ面積を持つ正方形は作図できないのである。

"squaring the circle" と題して投稿したとき( こちら
面白い思いつきだと自画自賛しつつも没にした駄文がある。
今日はそれを投稿。
出発点が数学ではないが、それ以降は図形問題を解く話。

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円を正方形にするのが不可能だから、当然、
球の表面積と同じ面積をもつ正方形も作図できない。
しかし、ズルして物を使えば不可能が可能になる。

紙と球の実物を使う。
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球がぴったり入る筒を紙で作る。
その筒を広げたときの長方形の面積は、
球の表面積に等しい。

球の半径を r 、円周率を π (パイ)とすると、
球の表面積は、公式から 4πr^2
長方形の面積は、縦×横 = 2r × 2πr = 4πr^2

長方形の縦 2r と横 2πr を利用すると、
球の表面積と同じ面積の正方形が作図可能になる。

ちなみに、 2πr を虫に描いてもらう手もある。
フンコロガシが球を一回転させると、
地面にできた軌跡(直線)の長さは 2πr になる。

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上の図1で、
三角形 ABD と BCD は相似なので、
a:m = m:b から
m^2 = ab

図1を作図するとき、
a = 2r 
b = 2πr で作図すれば、
m^2 = ab = 4πr^2 が成り立つ。

したがって、
一辺が m の正方形を描けば、
その面積は球の表面積と等しくなる。
めでたし、めでたし。



ついでに、
球の表面積と同じ面積をもつ正三角形の作図方法。

一辺の長さが m の正三角形の面積は、
(1/4)sqrt(3)m^2

これが球の表面積に等しいので、
(1/4)sqrt(3)m^2 = 4πr^2 とおくと、
m^2 = (16πr^2) / sqrt(3)
これを満たす m で正三角形を作図すればよい。

たとえば、上の図1で、
a = 16πr
b = r / sqrt(3) とすると、
m^2 = ab = (16πr^2) / sqrt(3) になる。

あとは、16πr と r / sqrt(3) をいかに得るかの問題。

16πr は、2πr の 8倍だから簡単。
一方、 r / sqrt(3) は少し面倒。

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まず、r の直角二等辺三角形を描いて
斜辺 r・sqrt(2) を得る。
次に、底辺 r 、縦 r・sqrt(2) の直角三角形を描くと、
斜辺の長さは r・sqrt(3) になる。

このとき、
斜辺:底辺 = sqrt(3):1 になるのがミソ。
斜辺に r の長さを取り、
垂線をおろすと底辺が r / sqrt(3) で区切られる。
めでたし、めでたし。


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ニルヴァーナ(Nirvana)/ Smells like teen spirit










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# by hikihitomai | 2018-01-15 21:00 | HDR
人力車が走る街



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エンヤ(Enya)/ Evening falls











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# by hikihitomai | 2018-01-10 21:00 | 物見遊山
上野公園



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サイモン&ガーファンクル(Simon & Garfunkel)/ Homeward Bound












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# by hikihitomai | 2018-01-09 21:00 | 物見遊山