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バーゼル問題の解法を使って数遊び




sinθをテイラー展開。
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sinθ=0になるのは、θ が 0 または π (パイ、円周率)の整数倍のとき。
具体的には、θ= … -3π, -2π, -1π, 0, 1π, 2π, 3π, …
これを利用して因数分解。(無限積で表現)
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カッコ内の分母が同じものどうしでかけ算。
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そのかけ算を展開したとき、θ^3 の係数は、
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テイラー展開したときの θ^3 の係数と等しいので、
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その両辺に -π^2 をかけると
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以上がバーゼル問題の解の導出方法。

冒頭のテイラー展開が理解できれば、
あとは中学校の数学レベル。
あっけないくらい簡単。
しかし、それは解答を見てからの感想であって、
解法を導出するには天才オイラーの数学センスが必要なのであった。




以下、上記の計算方法で数遊び。
他にすることもなく、
筆記用具と紙(チラシの裏)を使って暇つぶしをしたときの計算。
無限級数が割ときれい。


θ^5 の係数で計算。

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θ^7 の係数で計算。

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ニコラ・コンテ(Nicola Conte)/ Impulso
フルコーラス・バージョン。








by hikihitomai | 2017-12-27 21:00
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