連続するふたつの自然数の平方和が平方数になるときの漸化式



c0069055_19515942.jpg


まず、連続するふたつの自然数の平方和が平方数になる例。

小さい順に、
3^2 + 4^2 = 5^2
20^2 + 21^2 = 29^2
119^2 + 120^2 = 169^2
696^2 + 697^2 = 985^2
4059^2 + 4060^2 = 5741^2
23660^2 + 23661^2 = 33461^2
137903^2 + 137904^2 = 195025^2
803760^2 + 803761^2 = 1136689^2
4684659^2 + 4684660^2 = 6625109^2
27304196^2 + 27304197^2 = 38613965^2
159140519^2 + 159140520^2 = 225058681^2
以下、無限に続く。

それらの等式を次々と作り出す方法について。

漸化式は次のとおり。
c0069055_18172406.jpg

この漸化式をもとに大きな数を計算し、
その結果を投稿したのが、以前の こちらの記事。



以下、補足説明。
ただし、数学的な証明ではなく、
どのようにパズルを解いたか、という話。

個人的な願望が動機となっている。

a^2 + b^2 = c^2 は、
図形で考えると、直角三角形の辺の長さの関係。

b=a+1のとき、a の値を大きくすると、
三角形は直角二等辺三角形に限りなく近づく。
直角二等辺三角形の斜辺の比率はルート2( sqrt(2))だから、
sqrt(2) を使った漸化式が望ましい。
それが動機。

3, 20, 119, 696, 4059・・の公比を次々と計算したら、
だいたい 5.8 くらいに収束するようであった。
5.8 って何?
sqrt(2) と関連づけをしたいから、
5.8 ≒ 3 + 2sqrt(2)

しかし、前項に(3 + 2sqrt(2))をかけても、誤差が出る。
次に、その誤差を次々と算出してみたら、
だいたい 2.4 くらいに収束するようであった。
2.4 って何?
sqrt(2) と関連づけをしたいから、
2.4 ≒ 1 + sqrt(2) とすることにした。

ところで、
 (3 + 2sqrt(2)) は (1 + sqrt(2))^2 なので、
漸化式を
 An = (1 + sqrt(2))^2×An-1 + (1 + sqrt(2))
と表記すると美しく見える。

その漸化式では、1未満の誤差が生じる。
しかし、その誤差は小さく、
a の値が大きくなるにつれ、誤差はとても小さくなる。

たとえば、
第10項の 27304196 をもとに計算すると、
≒ 159140518.999999987 となる。
第11項は、端数を切上げて 159140519 になるから、
誤差は 0.000000013 程度である。

距離の計測にたとえると、
地球から太陽までの距離(平均約 1億5千万km)を計測したとき、
誤差が0.013mm 以下、という精度である。

第10項から第11項を求めたときでも、その高精度だから、
第100項あたりの精度はもっとスゴイだろう。
試算したわけではないが、
宇宙の端から端までの距離を測ったときの誤差が、
水素原子1個分よりも遥かに小さくなるだろう。

何を言いたいのかというと、
誤差を解消できなかった負け惜しみを並べているのである。



以上が、長い前ふり。

例によって、筆記用具と紙(チラシの裏)を使って
計算をして暇をつぶしていたときのこと。
誤差を解消できないものかと試行錯誤していたら、
もっと簡単な関係があることに気がついた。
それを投稿するのが本日の主旨。
c0069055_18265284.jpg

シンプルな漸化式であるばかりでなく、
自然数の乗算、加算、減算の組合せだから誤差が生じない。
前述の漸化式の誤差を解消するため、
様々な小細工を試みたことが、
バカバカしく思えるほどシンプルである。


*******
モーツァルト(Wolfgang Amadeus Mozart)/ 歌劇「魔笛」から「夜の女王のアリア」
夜の女王が娘のパミーナに、神官ザラストロを殺せと迫っている。
Youtube には同アリアがたくさんアップされているが、
その中からディアナ・ダムラウ(Diana Damrau)の
このバージョンを選んだのは、顔がこわいから。










by hikihitomai | 2018-02-05 21:00
<< 濹東綺譚 皆既月食 >>