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今日の仔猫
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ふらふら歩いていた仔猫たちも、走りまわるようになった。
身長より段差が大きいのに、階段の昇りおりも速い。
元気に走りまわる姿はかわいいが、活発すぎて悪魔的でもある。

「超」がつくくらい元気でかわいいから、
寝ているときが一番かわいい(笑)
by hikihitomai | 2010-05-29 23:17 | ねこ
ガウスの逸話
小学生のガウスが足し算をあっという間に計算したというあの逸話は、
実はもっと複雑な計算だったとする説がある。

広く知られているのは、1から100までを足す計算。
 1+2+3+・・+98+99+100
=(100+1)×100÷2
=5050

小学生のガウスが等差数列の和を求める公式を編み出したのは驚異的である。
ただ、この逸話は読者が理解しやすいように伝記作家が簡略化したものらしい。

よくよく考えると、1から100まで足す計算は、
単純に足し算を繰り返したとしても、一時間もあれば多くの小学生が答を出せるだろう。
ガウスほどの大天才を語り継ぐ題材としては、凄味に欠けるのである。
大人が計算しても時間がかかったり、計算ミスを誘発するような計算が望ましい。

本来の計算はこうであったとする説がいくつかある。
有力な説は、81297から始まり198ずつ増える数を100個足す計算。

81297, 81495, 81693, ・・・, 100503, 100701, 100899
これらの合計を求めよ、と。

数字をすべて書きならべるのは面倒であるが、
教師はこれら100個の数字をわざわざ書いてから合計を求めよと命じて欲しい。
解く側にとってハードルが高くなるからだ。
生徒は100個の数を眺めて規則性の有無を検証しなければならない。

羅列された数の一部から規則性を見出して、一般化し、
定理として証明するのは数学的な思考そのものである。
ガウスの逸話としては、これが望ましいと思う。

一方、「81297から始まり198ずつ増える数を100個足せ」という出題方法なら、
設問自体が数の規則性を表現しており、等差数列のヒントになっている。
大ガウスに失礼である。

ガウスの計算方法は次のとおり。
 81297+81495+81693+ ・・・ +100503+100701+100899
=(81297+100899)+(81495+100701)+・・・+(100899+81297)
=182196+182196+・・・+182196
=182196×100÷2
=9109800

ちなみに、あまり美しくはないが、別解を考えてみた。
 81297+81495+81693+ ・・・ +100503+100701+100899
=(81297+198×0)+(81297+198×1)+(81297+198×2)・・・+(81297+198×99)
=81297×100+198×(0+1+2+・・・+99)
=9109800
この計算でポイントとなるのは (0+1+2+・・・+99) の部分をいかに算出するかにある。
そこで、伝記作家が出題自体を(1+2+3+・・・+100)という問題に変更して、
それが世間に広まったのではなかろうか。
なんてことを想像しているのだが、ホントのところはわからない。

いずれにしても、1から100まで足す計算だけでは大天才を矮小化しているようで、
ガウスの並はずれた数学的なセンスを語る題材として適当とは思えない。

センスといえば、卓越した数学的センスとしか表現のしようのないセンスで
15歳のときガウスは素数の分布を予想した。(それを発表したのはだいぶあとのこと)
いわゆる素数定理がそれで、x 以下の素数の数を π(x) とすると
π(x)~x/log(x) となる。

前述の等差数列は数字の並びを眺めているうちに気が付くかもしれないが、
素数の何を観察すれば log(x) などというモノが出てくるのか
凡人の私には到底理解できない。

バーゼル問題では有理数の和がπ^2/6という無理数に収束する点で
それを解いたオイラーに底知れぬ数学的なセンスを感じるが、
素数定理のガウスの天才ぶりにも驚く。
※オイラーの数式は 1月3日付の当blog をご参照ください。

しかし、驚くのはまだ早いのであった。
もっとスゴイものがある。
十代後半のガウスは正十七角形の作図方法を発見するのである。
あるとき「思いついた」そうだ。

定規とコンパスで正多角形(辺の数が素数)を作図する問題は、
古代ギリシア時代に正五角形がクリアされて以来、実に2千年ぶり。
しかも、正十七角形というワケのわからない多角形の作図方法である。

作図方法を説明するgifアニメがWikipediaに掲載されている。
こちら
へぇー、としか言いようがない。
これを「思いつく」というのは、一体どういう現象をいうのだろうか。

解法は こちら

それらの数式の羅列を見て、吐き気をもよおすのが正常な人間だと思う。
従って、私も正常な人間として胸を張る資格がある。

吐き気をこらえて数式を嘔吐、じゃなくて数式を追うと、
どうやらこの解法は、まず2次方程式 X^2+X-4=0 の解を求め、
その解を係数とする2次方程式を解き、
さらにその解を係数とする2次方程式を解き、
もひとつオマケにその解を係数とする2次方程式を解くこと、らしい。
要は、何がなんだか、わからないのである。
凄すぎて賞賛する言葉が思いつかない。

ガウスは作図しただけでなく、17個の頂点の各座標を精密に計算したという。
電卓もパソコンもない時代だから手計算である。
その手計算がどれほどスゴイかは、もはや想像すらできない。

これだけでも実績として十分だと思うが、
正十七角形の作図方法を解明したことに自信を深めたガウスは
数学者になる決心をしたという。

作図可能な正多角形に関して、
フェルマー素数と関連があることが証明されているが、それはさておき、
当blogには数学者となったガウスの功績を書き記す余白が残されていない。
by hikihitomai | 2010-05-29 23:07
本日の仔猫
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走り回ったあとは深い眠りに落ちる



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寝ぼけ顔



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仰向け



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この子だけ顔がなんというか。。。



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ソラは育児で疲れ気味


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シバ(別名デブゴン)は意外なほど面倒見がいい

by hikihitomai | 2010-05-23 18:11 | ねこ
1からnまでの和が平方数になる例
1から8までの和は36で、36は平方数(6の2乗)。
1から49までの和は1225で、1225は平方数(35の2乗)。
1から288までの和は41616で、41616は平方数(204の2乗)。
それらをまとめたのが次の表。
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n の値に注目すると、n または n+1 が平方数になっている。
最初の8は平方数ではないが、8+1=9は3の2乗。
次の49は7の2乗。
次の288は平方数ではないが、288+1=289は17の2乗。
それらをまとめたのが次の表。
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何か規則性がありそうである。
そこで、様々な計算をした結果をまとめたのが次の表。
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A ÷ B の値をCとすると、C は2,5,12,29,70,169・・・
C の差をとりDとすると、D は3,7,17,41,99,239・・・
D の値は、B(1項前)の値と一致している。

また、連続するふたつの C の値を足すと Bの値になる。
2+5=7
5+12=17
12+29=41
・・・

それらの関係をまとめると、nの一般項を数式に表わすことができる。
スリリングな発見である、と思った。

しかし、あまり誇らしげに投稿すると恥をかくことになるから、色々と調べたところ、
本件に関して、 n の一般項を表現した数式がすでに存在していることがわかった。
しかも、その数式の正しさはペル方程式を応用すると証明できることもわかった。

前例がある以上、「発見」とは言えないが、
たくさんの数字をながめて規則性を探るのは楽しいことに変わりはない。
高尚な表現を用いるなら、
特殊から一般を求める行為は数学的帰納法そのものである、と思う。
負け惜しみか。

ついでに、今回の計算結果を大きな表にまとめたのが次の表。
(画像をクリックすると原寸表示)
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by hikihitomai | 2010-05-23 17:35
宝剣  純米吟醸
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地味だけれど洗練された旨口の酒。
「魂心の一滴」とラベルに書いてある。
by hikihitomai | 2010-05-17 21:42
単位分数  その2
理屈を少々。

単位分数(分子が1の分数)の和に置き換える方法について。
たとえば3/8を単位分数の和に置き換える場合。

まず、分母を分子で割って1を足す。
  8÷3+1=3
この答3を分母として、ひとつ目の単位分数1/3とする。
3/8から1/3を引いてみると、3/8 - 1/3 = 1/24 なので、
運よく答えも単位分数1/24になった。

従って、
 3/8 = 1/3 + 1/24 である。

引いた答えが単位分数にならなかったら、
その分母を分子で割って1を足す、という計算を繰り返す。

ただし、上述の 3/8 = 1/3 + 1/24 は一例に過ぎない。
実際、3/8 = 1/4 + 1/8 といった別の例がある。

理屈をもうひとつ。

単位分数は、単位分数の和に展開できる。
元の単位分数を 1/a とすると、
 1/a = 1/(a+1) + 1/(a×(a+1)) である。

たとえば、
 1/8 = 1/(8+1) + 1/(8×(8+1)) = 1/9 + 1/72

この結果も実は一例に過ぎない。
ほかの例として、
 1/8 = 1/10 + 1/40
 1/8 = 1/12 + 1/24

和だけでなく、単位分数の差で表現するなら、次のような関係も成り立つ。
 1/8 = 1/4 - 1/8
 1/8 = 1/6 - 1/24
 1/8 = 1/7 - 1/56

というわけで、単位分数の和や差に置き換える例は、
バリエーションがたくさんあって、 計算が楽しい。
包括的な展開方程式は存在するのだろうか。
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by hikihitomai | 2010-05-17 21:39
今日の仔猫
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仔猫が生まれて今日で42日。
42日間の秒数は「10の階乗」に等しい。
10! = 10×9×8×7×6×5×4×3×2×1 = 3628800
42日間 =  60秒×60分×24時間×42日  = 3628800
by hikihitomai | 2010-05-16 17:40 | ねこ
今日の仔猫
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一家でお昼寝

by hikihitomai | 2010-05-15 18:59 | ねこ
単位分数  その1
分子が1の分数を単位分数という。
リンドのパピルスには単位分数がたくさん記述されているそうだ。
古代ギリシアの人々がなぜ単位分数を必要としたのかは
よくわかっていないらしい。

単位分数展開の理屈などはさておき、
単位分数の和や差に変換して美しい分数を探した。
表現方法がひとつだけではないから計算して遊ぶには都合のよい題材である。

今回は分母が1212のときのバリエーション。

まず、1/1212を単位分数の和と差に展開した例。
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続いて、1/1212から順に、きれいな和または差に展開した例。
左辺が既約分数でないケースは邪道といえば邪道だけれど、見た目を優先。(以下同様)
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次のものも割ときれいだと思う。
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分母をレピュニット数(Repunit)に関連した値で展開。
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ついでに、こんな例も。(一部、前例と重複あり)
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かなり多くの計算をしたけれど、数とじゃれるのは楽しい。
by hikihitomai | 2010-05-15 18:58
今日の仔猫
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by hikihitomai | 2010-05-13 22:06 | ねこ