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フェルマーの平方差法



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オオミユビトビネズミ



新潮文庫の「素数の音楽」を読んでいたら、
カール・ポメランスのエピソードが掲載されていた。
高校時代、コンテストの問題が解けず、
それが悔しくて素因数分解に興味を持った、と。

その問題は次のとおり。
「8051を素因数分解せよ」 (制限時間は5分)

5分という制限時間がミソである。
素数で試し割りをしていたのでは時間内に解ける可能性は低い。
つまり、要領よく素因数分解する方法に気づけ、という設問なのである。

「素数の音楽」には解法が示されていないが、
私は10秒ないし20秒程度で、しかも暗算で解くことができた。

 8051 = 8100 - 49 = 90^2 - 7^2 = (90+7)(90-7) = 97×83

うちの奥さんが生きていれば「おとうちゃんスゴイね」と褒めてくれるのだが、
死んでしまったから、こうしてblogに書き殴って自慢するしかない。
したがって、当blogの品格の低下は、奥さんの死によって加速している。

以前、素因数分解と題した駄文にも書いたとおり、
中学生のころから私は素因数分解を趣味としている。
当初は自家製の「エラトステネスの篩」で試し割りを繰り返していた。

まあ、計算して遊ぶにはそれで十分なのだが、
学校で代数の因数分解を習ったとき、閃いたのである。

 a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)

これはスゴイぞ、と。
素因数分解に応用できるではないか、と。

a^2がわかりやすい値で、かつb^2が小さければ、
暗算でも簡単に素因数分解ができる。
たとえば、
3999991 =  4000000-9 = 2000^2-3^2 = (2000+3)(2000-3) = 2003×1997
8999999 =  9000000-1 = 3000^2-1^2 = (3000+1)(3000-1) = 3001×2999
80999999 = 81000000-1 = 9000^2-1^2 = (9000+1)(9000-1) = 9001×8999

次のような例はちょっと難しいが、数字に親しんでいる人なら暗算でイケルかも。
80999159 = 81000000- 841 = 9000^2-29^2 = (9000+29)(9000-29) = 9029×8971
80997599 = 81000000-2401 = 9000^2-49^2 = (9000+49)(9000-49) = 9049×8951
80996519 = 81000000-3481 = 9000^2-59^2 = (9000+59)(9000-59) = 9059×8941

というわけで、中学生の頃からそのような計算をして遊んでいたから、
冒頭に書いた「8051を素因数分解せよ」は、簡単に解けるのである。

これを数論っぽく表現すると、

 x^2 ≡ y^2(mod n) 

を応用した素因数分解であり、
後年、「フェルマーの平方差法」あるいは「フェルマー法」、
または単に「平方差法」と呼ばれていることを知った。
フェルマーというのは「フェルマーの最終定理」のフェルマーである。

とまあ、偉そうに書いてはいるが、
学校で習った数学は「数学Ⅲ」止まりなので、
数論に関する基礎は身についていない。

他にも「数体ふるい」による素因数分解方法など色々とあるのだが、
それらをマネするのは面白味に欠ける。
あれやこれやと屁理屈をこねまわしているうち、
それらと同じような方法に辿り着きたい、と思っている。
あわよくば、オリジナルのアルゴリズムを発見したい。

オリジナルでなくても、無学ゆえ、
既知の方法を独力で発見する喜びが残されている、
と都合のよい解釈をしている。


似たような計算テクニックを使うものとして、
因数の範囲を整数から複素数に拡大したガウスの因数分解がある。
虚数単位(2乗するとマイナス1 になる数)を i とすると、
複素数は (a + bi) とか (a - bi) と表現できる。

整数では素数としてこれ以上因数分解できないものも
複素数を使えば因数分解できるものがある。

たとえば、4k+1で表現できる素数は次のように因数分解できる。
  5 = (2 + i)(2 - i)
 13 = (3 + 2i)(3 - 2i)
 17 = (4 + i)(4 - i)

これらの等式は、
  5 = 2^2 + 1^2
 13 = 3^2 + 2^2
 17 = 4^2 + 1^2
と同じだから、
4k+1で表現できる素数はふたつの平方数の和で表現できる。

それを知ったとき、とらえどころのない素数が、
すべてではないにしろ平方数と関係していることに興味がわき、
平方数をあれやこれやと計算するようになった。

以上、そんなこんなの事情があって、
当blogには平方数に関する投稿が多いのである。
そのほとんどが何の役にも立たないものばかりなのだが。


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ビル・エバンス(Bill Evans) / Beautiful Love
ビル・エバンスの表情がちょっと怖い。
野獣のような口をしている。
by hikihitomai | 2014-03-27 22:28 | 物見遊山
富士川から望む富士山  その2



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SONY DT 16-50mm F2.8 SSM



季節の草花を配して撮影すれば富士山の写真らしくなるだろう。
あいにく適当な花が見当たらず、
かといって工事中の重機を写すのもアレだから、道路標識にした。
日常的な富士山である。
こじつけだけど。


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エレクトリック・ライト・オーケストラ(Electric Light Orchestra) / Mr.Blue Sky










by hikihitomai | 2014-03-26 21:00 | 物見遊山
あけぼの山農業公園  梅林



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20140325=127^2+4486^2
20140325=794^2+4417^2
20140325=1378^2+4271^2
20140325=1999^2+4018^2
20140325=2015^2+4010^2
20140325=2590^2+3665^2


こんな計算をしているうちに、だいぶ暖かくなった。
通勤のコートも脱いだことだし、
季節はずれになる前に梅の在庫を投稿。
撮影は先々週。


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リアル・グループ(The Real Group) / Count Basie Medley
トランペットの音を模した数フレーズが絶品。
by hikihitomai | 2014-03-25 21:00 | 植物
オイラーによる神の存在証明



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不忍池、カワウ



エカチェリーナ2世は、無神論を展開するドゥニ・ディドロを苦々しく思っていた。
何とかやりこめてやろうと、レオンハルト・オイラーに依頼するのであった。
パトロンからの依頼を受けたオイラーは、ディドロに問う。
「 (a + b^n) / n = x 、 ゆえに神は存在する。ご意見は? 」


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The B52's / Rock Lobster
by hikihitomai | 2014-03-24 21:00 | 生き物
富士川から望む富士山  その1



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SONY 70-300mm F4.5-5.6 G SSM  230mm(345mm相当)












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70mm(105mm相当)



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小室等 / お早うの朝
by hikihitomai | 2014-03-23 22:36 | 物見遊山
命日



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うちの奥さんが永眠して3年が経過した。
もう3年なのか、まだ3年なのか。
ただ時間が経過しただけのような気がしている。
正直な気持ちを表現するなら、寂しいの一語に尽きる。

故人の話題になっても気持ちが乱れることはなくなったが、
日常の些事を契機に平常心が崩壊することがある。

たとえば、カメラを提げて街を徘徊しているとき、
「あそこに喫茶店があるから、お茶にしようよ」
傍らにいるはずのない奥さんに、話しかけてしまう。
そんなとき、奥さんの不在が深い闇となって眼前に広がるのだ。

他人には言い難いことも、そのまま伝達できる奥さんとは自他の境界線がなかった。
自分の頭の中で考えたり思ったりすることの延長線上に、
奥さんとの会話が位置していたから、つい話しかけてしまうのである。


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歳をとっても、私たちの関係は新婚の頃とあまり変わらなかった。
三人の子宝に恵まれ、相応のオジサンとオバサンになっても
うちの奥さんは常にスキンシップを求めてきたからである。

私が本を読んでいたり、パソコンの前に座っているときなど、
かまってくれと背後から抱きついてきたものだ。
「ねえ、アタシと遊んで」
いい歳して「遊んで」もないのだが、奥さんのペースに嵌ってしまう。
「ねえ、遊んでよぉ」
「じゃあ、お手」
「わん」
「今日は猫の気分だな。お手」
「にゃあ」

頭をぐりぐり押し付けてくるから、髪を撫でて頬ずりをする。
「もっと撫でられたい?」
「にゃあ」
「ここも撫でられたい?」
「にゃあ」
「まさか、こんな所もか?」

日常的に他愛のないやり取りをしていたから、
今でもときどき、髪を撫でるときの感触や、
頬ずりの温かさ、肌の匂いといったものが欲しくなる。
「死んでも心の中で生きている」
そうもいえるが、実体がなければ触ることができない。

触るといえば、何度か書いているとおり、
台所で家事をする奥さんに無言で近づき、
背後からおっぱいを揉んだりすることも日常的であった。
「なあに、おとうちゃん。コーヒーが飲みたいの?」
何もいわなくてもコーヒー程度のことなら、台所のおっぱいを揉めば伝わる。
それが奥さんにとって不満なのであった。

「淹れてあげるから、コーヒーが飲みたいってちゃんと言って」
「じゃあ、おっぱいは触らないことにする」
「触りながらでいいから、コーヒーが飲みたいって言って」
「仕方がないなぁ、コーヒーを飲んであげてもいいよ」
すると奥さんは「はい、はーい」と腰を振りながら応じる。
それが、いつものパターンであった。


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うちの奥さんには、ささやかな願望があった。
近所の居酒屋で酔いつぶれた私を迎えに行き、
店のオカミに挨拶したいという。
「うちのヒトが、いつも済みませんねぇ」
そのセリフを一度でいいから言ってみたい。
願望と呼ぶには、ささやか過ぎる願望である。

願いが叶わなかったのは、私が酔いつぶれるまで飲まないからだ。
そもそも、うちの近所には居酒屋がない。

「酔っ払ったら、かわいいオネエチャンに介抱してもらうから、お前は家で寝てな」
その程度の憎まれ口でくじけるような奥さんではなかった。
「素直じゃないんだから、まったく」と。
ヤキモチを焼かそうとするのは、アタシの気をひきたい証拠だという。
「ダンナ、もしかしてアタシに惚れてるね」
奥さんは口に手をあてて「ひょっひょっひょっひょ」と笑うのであった。


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ブリス(Bliss) / Wish you were here
by hikihitomai | 2014-03-13 23:05 | 物見遊山
ロキソニン・テープ



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SONY DT 16-50mm F2.8 SSM



水たまりを軽快に飛び越えた、つもりであった。
着地に失敗。
左足をくじいてしまった。
足首を痛めたのだが、翌朝になると足の甲が腫れ上がった。
土踏まずのあたりも赤く腫れ、歩くのが苦痛になった。

今年は痛みに耐える年か。
年初に歯茎が痛み、今度は足である。
歳のせいにするのは安直だが、歳は否定できない。

炎症を抑えるためロキソニン・テープを貼った。
ロキソニン・テープはハッカのような匂いがする。
試しにデブゴン(父猫)に嗅がせてみたら、
露骨に嫌な顔をして逃げてしまった。

ソラ(母猫)の反応は、デブゴンとは正反対。
くんかくんかと匂いを嗅ぎまくり、咽喉をごろごろ鳴らしながら、
ざらざらの舌で私の足をべろべろ舐めた。

さらに、ソラは私が履いていたスリッパに頭を突っ込んで、
狂ったように猫じゃ猫じゃを踊るのであった。
匂いがついていたのだろう。

ロキソニン・テープには、
マタタビと同じような成分が含まれているのだろうか。
そうだとすれば、ソラの行動は説明がつく。
しかし、デブゴンの行動とは矛盾する。
不思議だ。


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エルトン・ジョン(Elton John) / Saturday night's alright for fighting
by hikihitomai | 2014-03-12 21:00 | 物見遊山
311



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TAMRON SP AF 90mm F2.8 MACRO



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World Baseball Classic / 謝謝台湾
by hikihitomai | 2014-03-11 21:00 | 植物
カレッタ汐留からの夜景



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築地市場方面












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レイボーブリッジ方面



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ハーブ・アルパート(Herb Alpert) / Rise
by hikihitomai | 2014-03-10 21:00 | 物見遊山
卒業



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3月7日(金)は末娘の卒業式。
4月から公務員になり、自活を始める。

3年前、母親の死期が迫る中、娘は高校を受験した。
勉強に集中できるような家庭環境ではなかったが、
無事、進学できたのは気持ちを維持できたからだ。

高校生になると、娘は美大への進学を望んだ。
いつも絵を描いていたから、好きな道に進みたいとの一心である。
やがて美術関係の進路について、現実的なものの見方をするようになり、
美大進学から公務員へと進路を変更。

親に似て頑固なところがあるから、
娘が公務員になると宣言した時点で、進路は決まったようなものだ。

好きな絵描きについては、高校生活の記念となる作品を残した。
卒業文集の表紙デザインと挿絵は、娘の手によるものだ。

卒業式にはカメラを持ってきちゃダメと念を押された。
ばかオヤジのことだから、たくさんの機材を持ち込み、
大々的に撮影するかもしれないと心配したのだろう。

卒業式はもともと手ぶらで出席するつもりであった。
あまり偉そうなことは言えないが、
「撮らない」という積極的な選択は、撮影行為の一種だから。


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川嶋あい / 旅立ちの日に...
by hikihitomai | 2014-03-09 21:00 | 植物