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根津神社



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撮影は4月26日(土)。
快晴。


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ビリー・ジョエル(Billy Joel) / The longest time
by hikihitomai | 2014-04-29 21:00 | 物見遊山
シャガ



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TAMRON SP AF 90mm F2.8 MACRO














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コリーヌ・ベイリー・レイ(Corinne Bailey Rae) / Like a star
by hikihitomai | 2014-04-28 21:00 | 植物
今週のバカ



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言論の自由とは、権力者や強者に対する言論の自由である。
弱者に対しては配慮が必用で、言論が制限されるケースもあるだろう。
しかし、権力者や強者に配慮は不要だ。
そうでなければ、言論の自由なんて意味がない。
ひとがどう考えているか知らないが、私はそう思っている。

昨年、週刊文春の「今週のバカ」で、韓国の朴槿恵(パククネ)大統領が、
「隣近所の悪口を 言いふらすおばさん外交」と揶揄された。
最近では、日本の安倍首相も酷評されたという。

次の「今週のバカ」候補は米国のオバマ大統領だ。

訪日を終え、韓国に渡ったオバマ大統領は、いわゆる従軍慰安婦問題について、
「甚だしい人権侵害で衝撃的なものだ。
 安倍総理大臣も日本国民も、過去は誠実、公正に認識されなければならないことは
 分かっていると思う」
と述べた。

バカ丸出しである。
いわゆる従軍慰安婦問題について何が問題なのか理解していないだけでなく、
論理のすり替えになっている。
幼稚すぎて茶化す気にもならない。

日韓関係の問題ですら、この程度なのだから、
複雑怪奇ないわゆる中東問題など対処できないだろう。

誰だよ、ノーベル平和賞なんか与えたのは。
こんなヤツが世界最大・最強の軍隊を動かす権限を握っているなんて、
世界平和の脅威じゃないか。


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Team America / America, Fuck Yeah!
 "Obama, Fuck Yeah! "
by hikihitomai | 2014-04-27 21:00 | 物見遊山
お葬式で計算問題を解いた話



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週末、葬儀に参列した。
義父の兄にあたる方が亡くなったのである。
喪主の言葉のとおり「80歳の大往生」であった。
葬儀に涙はなく、
久し振りに参集した親戚縁者の会合の場となった。

故人とは疎遠であった。
会話を交わしたのは一度しかない。
1987年、私たちの結婚式に出席していただいた折、
披露宴のあと、故人は、病弱そうな私を見て言った。
「長生きして、花嫁を幸せにしろよ」
新郎に対する激励の言葉であった。

幸せにできたのか自信はないが、私は女房より長く生きて、
結婚時に励ましの言葉を頂戴した方を送ることになった。
これでまた、ひとつの場面が完結したような気がする。




暇だったと表現すると語弊があるが、
お通夜の読経の最中、暇なのでボンヤリと祭壇を眺めていたら、
どうでもいいようなことに気がついた。

供花の配列が目に留まったのである。
遺影を挟んで向かって左側は、最上段から順に、2基、4基、4基、6基で合計16基だから2の4乗、
向かって右側は、最上段から順に、3基、5基、3基、5基でこちらも合計16基だから2の4乗。
合計は同じだけれど、左側が偶数、右側が奇数のグループであった。

偶数と奇数か。
漠然と考えていたら、
偶数と奇数に分けたらアレはどんな値になるのだろうかと、計算問題に行き着いた。

  (1/1)^2 + (1/2)^2 + (1/3)^2 + (1/4)^2 + ・・・ = (Π^2)/6 

無限級数の和が Π(円周率)に関連する値に収束するという上記の等式がある。
オイラーが解いた「バーゼル問題」と呼ばれるものであり、
ゼータ関数の指数が 2のときの計算結果である。
その左辺を、分母が偶数のものだけで計算したときと、
奇数だけで計算したときは、どのような値になるのだろうか。

つまり、
 (1/2)^2 + (1/4)^2 + (1/6)^2 + (1/8)^2 + ・・・ の値と、
 (1/1)^2 + (1/3)^2 + (1/5)^2 + (1/7)^2 + ・・・ の値は、
どうなるのかしら、と。

この手の級数は計算式を上手にヤリクリしてやると、
スパッと解答が出せることがあるから、考えてみるのも面白いだろう。

興味を持って考え始めると止まらなくなるので、
読経が続く中、焼香のときも考え続け、ついに解答に辿り着いた。
さらに考えていたら、
級数の指数が2以外でも同じヤリクチを適用できることもわかった。

つまり、級数の指数が2以上の整数であれば、
2乗でも3乗でも4乗でも、全体の収束値をもとに、
分母が偶数グループの和と奇数グループの和に分割できる。

まあ、「思いついた」といっても、
私が知らなかっただけで誰かが計算済みだろう。
いわゆる「個人的な発見」でしかないのだが、
とても簡単に計算できたことが嬉しかった。



解答の前に、ここで少し脱線。



お清めの席が、楽しいひとときとなったので書いておこうと思う。
喪主の長男で、故人からみると孫にあたる若者が私の隣の席に着き、
寿司を食いながら、ビールを飲みつつ語らったのである。

聞けば、現役の大学生で、来年は大学院に進む予定だという。
彼は、とても親しみを感じさせる容姿であった。
たとえるなら、ウルトラセブンに登場したカプセル怪獣ミクラスである。
 ※ミクラスをご存じでない方は、「カプセル怪獣ミクラス」で画像検索してください。

初対面だから、当たり障りのない世間話をしようかと思ったのだが、
容姿が親しみやすかったせいもあり、
STAP細胞をめぐる騒動について、
研究者を目指す学部生がどのように感じているのか、尋ねてみた。

カプセル怪獣は雄弁であった。
もう、語るわ語るわ。
以降、約3時間にわたって、
物理学を中心に科学に関連するヨモヤマ話をすることになった。

カプセル怪獣はまず、
STAP細胞について門外漢が口を挟むのがケシカランと演説した。
研究者が女性であることや、着ている服のブランドとか髪型がどうしたとか、
科学とは関係がないじゃないか、と。
報道で科学が実証された例はないのだから、
無知なヤカラは黙っていろ、と。
面白いヤツだ。

そこで、女性の科学者が他に思いつかなかったので、
リーゼ・マイトナー(ユダヤの家系)の研究成果について尋ねてみた。
もちろん目的は、火に油をそそぐためである。

予想どおり、カプセル怪獣は、
オットー・ハーン(マイトナーの共同研究者)を批判した。
ナチスに魂を売ったクソ野郎ですね、と吐き捨てたのである。

カプセル怪獣が何を怒っているのか、補足すると次のようになる。
  ウランの原子核に中性子を照射し、より大きな原子をつくろうとしたのに、
  予想に反して、小さな原子(バリウム)ができてしまった。
  オットー・ハーンは自分の実験結果が理解できず、
  亡命中のかつての共同研究者であるマイトナーに助言を求めた。
  それで、マイトナーは実験で発生したエネルギーが、
  アインシュタインの方程式 E = mc^2 で説明できることをつきとめ、
  ウランが核分裂したのだ、と結論した。
  しかし、核分裂の業績によりノーベル賞が与えられたのはオットー・ハーンのみ。

オットー・ハーンは当初、マイトナーを援助した。
女性に学問の道を開くためである。
その助力を認めた上で、私の隣に座ったカプセル怪獣は、
ナチスに追従してマイトナーを排斥したオットー・ハーンを糾弾するのであった。

戦時中ならまだしも、戦後もマイトナーの貢献を忘れたふりして、
自分だけの業績であるかのように振る舞ったオットー・ハーンは許し難い、と。
科学界が業績を認めたとしても、ボクはオットー・ハーンを人として認めない、と。
ずいぶん嫌われたものである。

そして、STAP細胞の成果とは関係なく、
マスコミが女性研究者を消耗品のように扱って報道する姿勢や、
彼女を切り捨てようとする組織の体質が、ナチスの頃と何も変わっていない。
カプセル怪獣はそのように憤るのであった。

話題を変えることにした。
あまりにも予想したとおりの反応を示したので、
その方面に話をふったことに罪悪感を覚えたからだ。

話題を変えてもカプセル怪獣の勢いは衰えなかった。
科学者の逸話やら理論やら、次から次へと話が広がった。

質量保存の法則を発見したラヴォアジエが逆恨みされギロチンにかけられた一件とか、
不確定性原理がどうしたとか、神はサイコロを振らないとか、
ハッブルは男前でカッコイイとか、
シュレーディンガー方程式を発展させたディラックの方程式がイマイチわからないとか、
街に何人のピアノ調律師がいるか推定するフェルミ予想とか、
ヒッグス粒子が質量を発生させるという発想が斬新すぎるとか、
果ては、ガウスやオイラーなど数学の天才にも話が及び、
ライプニッツが考案した積分記号は美しいとか、
ナッシュのゲーム理論を「不動点定理の応用に過ぎない」と看破したノイマンの逸話とか、
ガロアの決闘は仕組まれたワナだったに違いないとか、
P対NP問題とか、、、

まあ、まあ、語るわ語るわ。
他にも話題があったと思うが、いま思い出せるのはそれくらい。

若いのに、いろんなことを知っているし、
知識が豊富なだけでなく、洞察力にも優れているようだ。

そして、極めつけはこれ。
「物理学は生活を豊かで楽しいものにする学問だけれど、
 数学における対称性の美しさこそ、至高の美だ」
対称性の美は、数学讃歌として目にする言葉だが、
面と向かって聞かされるとは思わなかった。
しかも、カプセル怪獣の口から。



というわけで、脱線しすぎたので、元の計算問題に戻る。



数学にも興味があるようなので、バーゼル問題の等式について、
分母を偶数と奇数に分けてそれぞれ計算するとどうなるか、
カプセル怪獣に話してみた。

話を途中まで聞いたカプセル怪獣は、
「えーと、偶数か奇数か、どっちか忘れたんですが、片方の答えは (Π^2)/8 ですね」
さらに、
「 (Π^2)/8 は、1より大きいから(1/1)^2 が含まれる方、つまり分母が奇数の方の答えですね。
そうすると、偶数の方の答えは元の値からそれを引いて、 (Π^2)/24 ってことになります」

読経の最中に暗算した値と一致していた。
カプセル怪獣は答えを知っていたのである。
ひとの喜びを蹂躙しやがって、オットー・ハーンより許し難いぞお前、
とは言わなかったけれど、いい思い付きだと喜んでいた自分がアホに思えた。

「答えは覚えているんですけど、算出方法を思い出せないので教えてください」
「分母が偶数のグループに 2^2 をかけると、答えが出せるよ」

カプセル怪獣は内ポケットから手帳を取り出し、級数を書き始め、
「おお、すごい」とか言いながら、あっという間に答を導いてしまった。

分母が偶数のグループに 2^2 をかけると、
  {(1/2)^2 + (1/4)^2 + (1/6)^2 + (1/8)^2 + ・・・ } × 2^2
  = 1      + 1/4     + 1/9    + 1/16   + ・・・
  = (1/1)^2 + (1/2)^2 + (1/3)^2 + (1/4)^2 + ・・・  ← もとの級数に等しい
  = (Π^2)/6

したがって、
分母が偶数のグループの和は、もとの級数の和を 2^2 で割ってやればいいので、
  (1/2)^2 + (1/4)^2 + (1/6)^2 + (1/8)^2 + ・・・ = (Π^2)/6 ÷ 2^2 = (Π^2)/24
分母が奇数のグループの和は、その残りだから、
  (1/1)^2 + (1/3)^2 + (1/5)^2 + (1/7)^2 + ・・・ = (Π^2)/6 - (Π^2)/24 = (Π^2)/8

方法がわかってしまえば、計算そのものは小学校の算数レベル。
だから、暗算でできたのである。

このヤリクチは指数が2でなくても使える。
要は、分母が偶数のグループに何をかけると元の級数になるか、
それさえわかれば計算できる。
その値は単純な規則に基づいていて、級数の指数を s とすると 2^s である。
つまり、
  {(1/2)^s + (1/4)^s + (1/6)^s + (1/8)^s + ・・・ } × 2^s
  =(1/1)^s + (1/2)^s + (1/3)^s + (1/4)^s + ・・・  
が成り立つ。

整理すると、
  s を2以上の整数とし、ゼータ関数の収束値を Z(s) = A とすると、
  分母が偶数の収束値 G = A / (2^s) 、
  分母が奇数の収束値 K = A - G

指数が偶数のときはΠ(円周率)に関連する値に収束することが知られているので、
その値に基づき、分母が偶数のグループと奇数のグループの和を求めた結果を以下に掲載。

■指数が2のとき
全部: (1/1)^2 + (1/2)^2 + (1/3)^2 + (1/4)^2 + ・・・ = (Π^2)/6
偶数: (1/2)^2 + (1/4)^2 + (1/6)^2 + (1/8)^2 + ・・・ = (Π^2)/6 ÷ 2^2 = (Π^2)/24
奇数: (1/1)^2 + (1/3)^2 + (1/5)^2 + (1/7)^2 + ・・・ = (Π^2)/6 - (Π^2)/24 = (Π^2)/8

■指数が4のとき
全部: (1/1)^4 + (1/2)^4 + (1/3)^4 + (1/4)^4 + ・・・ = (Π^4)/90
偶数: (1/2)^4 + (1/4)^4 + (1/6)^4 + (1/8)^4 + ・・・ = (Π^4)/90 ÷ 2^4 = (Π^4)/1440
奇数: (1/1)^4 + (1/3)^4 + (1/5)^4 + (1/7)^4 + ・・・ = (Π^4)/90 - (Π^4)/1440 = (Π^4)/96

■指数が6のとき
全部: (1/1)^6 + (1/2)^6 + (1/3)^6 + (1/4)^6 + ・・・ = (Π^6)/945
偶数: (1/2)^6 + (1/4)^6 + (1/6)^6 + (1/8)^6 + ・・・ = (Π^6)/945 ÷ 2^6 = (Π^6)/60480
奇数: (1/1)^6 + (1/3)^6 + (1/5)^6 + (1/7)^6 + ・・・ = (Π^6)/945 - (Π^6)/60480 = (Π^6)/960

■指数が8のとき
全部: (1/1)^8 + (1/2)^8 + (1/3)^8 + (1/4)^8 + ・・・ = (Π^8)/9450
偶数: (1/2)^8 + (1/4)^8 + (1/6)^8 + (1/8)^8 + ・・・ = (Π^8)/9450 ÷ 2^8 = (Π^8)/2419200
奇数: (1/1)^8 + (1/3)^8 + (1/5)^8 + (1/7)^8 + ・・・ = (Π^8)/9450 - (Π^8)/2419200 = 17(Π^8) / 161280

■指数が10のとき
全部: (1/1)^10 + (1/2)^10 + (1/3)^10 + (1/4)^10 + ・・・ = (Π^10)/93555
偶数: (1/2)^10 + (1/4)^10 + (1/6)^10 + (1/8)^10 + ・・・ = (Π^10)/93555 ÷ 2^10 = (Π^10) / 95800320
奇数: (1/1)^10 + (1/3)^10 + (1/5)^10 + (1/7)^10 + ・・・ = (Π^10)/93555 - (Π^10)/95800320 = 31(Π^10) / 2903040



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リアル・グループ(The Real Group)/ Pass Me The Jazz
by hikihitomai | 2014-04-20 21:16
ラマヌジャンの1729に関する雑記  その4


「1729は、2つの立方数の和で2通り表すことができる最小の数である」
というラマヌジャンの逸話にちなんでダラダラ計算したのが 1回目のこちら で、
その恒等式に関して書いたのが、 2回目のこちら で、
「2つの4乗数の和で2通り表すことができる数」が、 3回目のこちら

4回目の今日は、
「2つの立方数の和で2通り表すことができる数」にちなんで、
「2つの立方数の和で2通り表すことができる平方数」。
算出結果は次のとおり。

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数字を眺めると、相互関係が色々と見てとれますね。


ちなみに、ラマヌジャンの逸話に登場する、
   1729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3 
という等式の各辺に 1729^3 を乗じると、
   8936757492481 = 1729^3 + 20748^3 = 15561^3 + 17290^3
となって、本日掲載した7番目の等式になる。

これは、
A = B^3 + C^3 = D^3 + E^3 として、
各辺に A^3 を乗じると、
(A^2)^2 = (AB)^3 + (AC)^3 = (AD)^3 + (AE)^3
となるので。

したがって、
「2つの立方数の和で2通り表すことができる数」をもとにして、
「2つの立方数の和で2通り表すことができる平方数」を算出できる。
しかし、すべてを算出することはできない。


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クラフトワーク(Kraftwerk)/ Numbers
by hikihitomai | 2014-04-16 22:00
初めてコンピュータで遊んだときの話



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新潮文庫「素数の音楽」に面白いエピソードが掲載されていた。
電話会社を解雇された米国人の話。
その人物は会社のコンピュータ2588台を無断で
メルセンヌ素数探索プロジェクトに登録してしまった。
クビになった人物の弁明は次のとおり。
「大きな計算能力の誘惑に負けてしまった」

その気持ちはわかる。
痛いほどわかる。
わかり過ぎて怖いくらいだ。

というわけで、
私が初めてコンピュータで遊んだときの話。
ファミコンでゲームをした話ではない。
商用の大型コンピュータを勝手に使って、遊んだ話である。
「時効」を盾に過去の悪行を白状する、というズルイ態度である。



約30年前、プログラムを作る仕事をすることになった。
プログラムの作成はもちろん、
キーボードに触れたこともなかったけれど、
今でいうオンライン・プログラムを作るよう指示されたのである。

渡された要件書どおりのシステムを、
壁一面に収納されたマニュアル類を読んで作れ、という命令である。
期間は3ヶ月間。
毎日徹夜してでも完成させろ、と。

無茶な話である。
私は某社から某社に派遣された身であり、
会社間の契約がどうなっていたのか知らないが、
経験もないのにいきなりプログラムを作れといわれても、
途方に暮れるしかない。

「できません」と拒否する選択肢もあったのだろうが、
そうしなかったのはラッキーであった。

というのも、その職場に居すわったおかげで、
伴侶となる女性と巡り合えたのだから。
何が幸いするかわからない。

プログラムは無事完成した。
データベースや通信制御の定義体もつくり、
8種類の画面を制御する8本のプログラムをCOBOLという言語で書いた。
総ステップ数が約1万5千ステップ。
それなりのボリュームであった。
初めてのプログラム作成だから、
品質はよくなかったと思うが、必要最低要件はクリアした。



さて、ここから先が悪行の告白となる。
実は、プログラムの作成に3ヶ月もかからなかったのである。
正味2ヶ月弱といったところ。

はじめは途方に暮れたのだが、
大型コンピュータの実物を見たら、俄然、やる気が起こったのである。

初めて見たコンピュータは、体育館のような場所にずらりと並んでいた。
科学特捜隊の本部か、あるいは地球防衛軍の秘密基地か。
そんな感じであった。

コンピュータ施設に圧倒されていたとき、
耳元で悪魔がささやいたのである。
「これを利用しない手はない」

一計を案じ、とにかく仕事を片付けることにした。
目の前にニンジンがぶらさがっている。
後にも先にも、あのときほど猛烈に働いたことはない。

そして、仕事を片付けたあと、
会社にはまだプログラムが完成していませんと噓の報告をして、
期限まで残りの約1ヶ月間、大型コンピュータを使って存分に遊んだのである。

インターネットなどない時代であり、
パソコンも今ほど一般的な存在ではなかった。
私は大型コンピュータという自動計算機の誘惑に屈したのである。
悪魔に魂を売ったと書くと大袈裟だけれど、まあ、そういうことだ。

当時は「セキュリティ」とか「コンプライアンス」といった意識が希薄だったから、
お客様の所有物である大型コンピュータを「自由」に使えたのである。
もちろん「自由」というのは私にとって都合のよい解釈であり、
辞書に掲載されている意味とは異なる。

で、何をしたのか。

たとえば、14.134725・・・
といった無理数を求めるためのプログラムを作ろうと画策したのである。
その数値を見てピンときたアナタは、悪魔のささやきが聞こえる耳を持っている。

複素数を a ± bi とすると、
「ゼータ関数の自明でない0点は、 s = 1/2 ± bi 上にある」
とリーマンが予想しているから、
その b の値を求めようとしたのである。

あの1ヶ月間は、夢のような日々であった。
文字通り寝食を忘れてプログラム作成に没頭した。
もともと徹夜してでもプログラムを完成させろと厳命されていたから、
徹夜しようが休日出勤しようが、
「仕事内容」について会社から疑われることはなかったのである。

プログラムの概要は次のとおり。

1/2 ± bi の b を求めるアルゴリズムは、
「リーマン・ジーゲルの公式」から近似値を求める計算式を考案した。
厳密な解を求めるのではなく、小数点以下3桁ないし4桁程度が目標であった。

プログラムの骨格はすぐ作成できたのだが、
試作プログラムを実行しているうちに、
いくつかの解決すべき問題にぶつかった。

最初に悩んだのは、そもそも自分が作ろうとしているプログラムが、
いわゆる多項式時間のアルゴリズムになっているのかという疑問。
これに関しては、「なっている」ことを前提に、
とにかくプログラムを試すことにした。

次に悩んだのは、コンピュータの限界をいかに超えるか。
大型コンピュータといっても、
数値計算能力があまり高くなかったのである。

それで、浮動小数点数の有効桁数を拡張する必要が生じ、
演算ロジックを作り込むことにした。
平方根算出用にニュートン法で近似するロジックも用意し、
累乗を効率よく求めるロジックも作った。

試作プログラムを実行してみたら、メモリー不足が判明したので、
計算の途中経過を一旦ファイルに書き出し、
そのファイルを読み込むことで計算の続きを処理する仕組みも考案した。
要は、レジューム機能のようなものだが、
それにはもうひとつの意味があった。

長時間継続してプログラムを実行するとCPUを独占してしまい、
何をやっているのかバレルおそれがあったのだ。
それで、ある程度計算したら中断し、間を置いてその続きを処理させる、
といった行為を繰り返したのである。
レジューム機能という名の隠蔽工作機能であった。

ほかにも、
近似計算で使う三角関数の計算では、
円周率の有効桁数を大きくする必要性がわかり、
100桁ほど算出するプログラムを別途作成した。
対数も必要なので、
ネイピア数を100桁ほど算出するプログラムを作るなど、
あれやこれやと、ない知恵を絞ったのである。

こうして書きならべてみると、
ときどき計算して遊ぶときの材料が出そろっている。
言い換えると、私は約30年間、進歩していないことになる。

進歩はさておき、
計算全体の流れはFORTRANで記述し、
ファイル入出力や演算ロジックはアセンブラで作った。
わからないことは、壁一面のマニュアル類を読めばコトが足りる。
恵まれた環境といえるだろう。

そんなこんなで、自明でない0点を
次々と算出するプログラムを作ったハズなのだが、
残念ながら結果を出せなかった。

根本的な誤りなのか、ちょっとしたミスなのか、
それすらわからなかった。

鼻血が出るくらい頑張って間違いを探したのだが、
結局、成果がないまま、大型コンピュータとの蜜月は終わってしまった。

目論見は失敗に終わったけれど、
悪行が発覚することなく、解雇もされなかったのだから、
幸運(悪運)に感謝すべきだろう。



約30年の歳月を経て、現代のパソコンは、
あの頃の商用大型コンピュータより高性能になった。

パソコンを使って、自明でない0点を探索するのも面白いだろう、
なんてことを思ってはいるのだが、まったくやる気が起きない。
悪魔のささやきが聞こえないから。



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アート・ペッパー(Art Pepper)/ What's right for you
by hikihitomai | 2014-04-15 22:00 | 物見遊山
spring ephemeral



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SONY 70-300mm F4.5-5.6 G SSM



撮影は月初。
カタクリは桜の季節に花を開く。
桜花の見ごろは短いけれど、
カタクリをはじめとする "spring ephemeral" も、
その名のとおり短命で、はかない。


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アウル・シティー(Owl City)/ The saltwater room
by hikihitomai | 2014-04-14 21:00 | 植物
あけぼの山農業公園  チューリップ



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SONY DT 16-50mm F2.8 SSM












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撮影は土曜日。


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ミー・アンド・マイ(Me & My) / Dub-I-Dub
by hikihitomai | 2014-04-13 21:00 | 植物
名都借の桜



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流山市名都借で撮影



清瀧院のしだれ桜(樹齢400年)の時期を逸したので、
流山市名都借界隈を徘徊し、満開の桜を撮影。


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カーペンターズ(The Carpenters) / It's going to take some time
by hikihitomai | 2014-04-06 21:00 | 植物
交差点のしだれ桜



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北の丸公園出口、乾門付近



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Buzz / ケンとメリー ~愛と風のように~
by hikihitomai | 2014-04-05 22:00 | 植物